Question

【題目】已知圓M過兩點A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圓心M在直線x+y﹣2=0上．

（1）求圓M的方程．

（2）設P是直線3x+4y+8=0上的動點，PC、PD是圓M的兩條切線，C、D為切點，求四邊形PCMD面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）2．

【解析】

試題分析：（1）設圓心M（a，b），依題意，可求得AB的垂直平分線l的方程，利用方程組可求得直線l與直線x+y﹣2=0的交點，即圓心M（a，b），再求得r=|MA|=2，即可求得

圓M的方程；

（2）作出圖形，易得SPCMD=|MC||PC|=2=2，利用點到直線間的距離公式可求得|PM|min=d=3，從而可得（SPCMD）min=2．

解：（1）設圓心M（a，b），則a+b﹣2=0①，

又A（1，﹣1），B（﹣1，1），

∴kAB==﹣1，

∴AB的垂直平分線l的斜率k=1，又AB的中點為O（0，0），

∴l的方程為y=x，而直線l與直線x+y﹣2=0的交點就是圓心M（a，b），

由解得：，又r=|MA|=2，

∴圓M的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．

（2）如圖：

SPCMD=|MC||PC|=2=2，

又點M（1，1）到3x+4y+8=0的距離d=|MN|==3，

所以|PM|min=d=3，

所以（SPCMD）min=2=2．