Question

已知函數(shù)f(x)=sin(x-

3π

2

)cos(

π

2

-x)+cosxcos(π-x)
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[

π

4

，

3π

4

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等式簡化為f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

，由此能求出函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）由x∈[

π

4

，

3π

4

]，知2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，由此能求出函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）f(x)=sin(x-

3π

2

)cos(

π

2

-x)+cosxcos(π-x)=cosxsinx-cos²x
=

1

2

sin2x-

1+cos2x

2

=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）-

1

2

，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，∴2x-

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

時(shí)，f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

取最大值為

2 -1

2

；
當(dāng)2x+

π

4

=

5π

4

時(shí)，f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

取最小值為-1．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三角恒等式和誘導(dǎo)公式的合理運(yùn)用．