Question

已知圓O:x²+y²=2交x軸于A，B兩點,曲線C是以AB為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點為F.若P是圓O上一點,連結PF,過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的左準線于點Q.（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若點P的坐標為（1,1）,求證:直線PQ與圓相切；

（3）試探究:當點P在圓O上運動時（不與A、B重合）,直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系?若是,請證明；若不是,請說明理由.

Answer 1

（1）橢圓的標準方程為；（2），故直線與圓相切；（3）當點在圓上運動時，,故直線始終與圓相切

解析:

（1）因為,所以c=1

 則b=1,即橢圓的標準方程為

（2）因為（1,1）,所以,所以,所以直線OQ的方程為y=－2x（6分）

又橢圓的左準線方程為x=－2,所以點Q（－2,4））

所以,又,所以,即,

故直線與圓相切

（3）當點在圓上運動時,直線與圓保持相切      

證明:設（）,則,所以,,

所以直線OQ的方程為        

所以點Q（－2,）                    

所以,

又,所以,即,故直線始終與圓相切