Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓C滿足：圓心在軸上，且與圓相外切.設圓C與軸的交點為M，N，若圓心C在軸上運動時，在軸正半軸上總存在定點，使得為定值，則點的縱坐標為_________.

Answer 1

【答案】

【解析】

設C（c，0），P（0，p），（p＞0），圓C半徑為r，用c、p、r表示∠OPM，∠OPN的正切值，再利用兩角差的正切公式表示∠MPN的正切值，分析該值為定值的條件可確定P的坐標．

解：

如圖，設C（c，0），P（0，p），（p＞0）圓C半徑為r，

則OM＝c﹣r，ON＝c+r，OP＝p，

∴tan∠OPM＝，

tan∠OPN＝，

∴tan∠MPN＝tan（∠OPN﹣∠OPM）

＝

＝，

由兩圓外切可知，r+1＝，

得c2＝r2+2r﹣3，

∴tan∠MPN＝

＝，

∵上式為與無關的定值，

∴p2﹣3＝0，

∴p＝．

故答案為：