Question

【題目】對于正整數集合，如果去掉其中任意一個元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合為“和諧集”．

（）判斷集合是否是“和諧集”（不必寫過程）．

（）請寫出一個只含有個元素的“和諧集”，并證明此集合為“和諧集”．

（）當時，集合，求證：集合不是“和諧集”．

Answer 1

【答案】(1) 集合不是“和諧集”.

(2) 集合是“和諧集”；證明見解析.

(3)證明見解析.

【解析】

（1）根據定義，判斷集合{1，2，3，4，5}不是“和諧集”；（2）集合，根據定義驗證即可；（3）不妨設，將集合分成兩個交集為空集的子集，且兩個子集元素之和相等，則有①，或者②，

將集合分成兩個交集為空集的子集，且兩個子集元素之和相等，

則有③，或者④，由定義得出矛盾即可證明結論.

（）集合不是“和諧集”．

（）集合，

證明：∵，

，

，

，

，

，

，

∴集合是“和諧集”．

（）證明：不妨設，將集合分成兩個交集為空集的子集，且兩個子集元素之和相等，則有①，或者②，

將集合分成兩個交集為空集的子集，且兩個子集元素之和相等，

則有③，或者④，

由①③得，矛盾，由①④得，矛盾，由②③得矛盾，由②④得矛盾，

故當時，集合一定不是“和諧集”．