Question

設P為曲線C：y=e^x上的點，若曲線C在點P處的切線不經過第四象限，則該切線的斜率的取值范圍是

（0，e]

．

Answer 1

分析：欲求曲線C在點P處的切線不經過第四象限，該切線的斜率的取值范圍，先設切點的坐標為（ ${x_0}，{e^{x_0}}）$，，再求出在點切點（ ${x_0}，{e^{x_0}}）$處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=x₀處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用切線過原點即可解決問題．

解答：解：y′=e^x
設切點的坐標為（x₀，e^x₀），切線的斜率為k，
則k=e^x₀，故切線方程為y-e^x₀=e^x₀（x-x₀）
又切線過原點，∴-e^x₀=e^x₀（-x₀），
∴x₀=1，y₀=e，k=e．
若曲線C在點P處的切線不經過第四象限，則該切線的斜率的取值范圍是（0，e]．
故答案為：（0，e]．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．