Question

在平面直角坐標系xOy中，點F與點E（-，0）關于原點O對稱，M是動點，且直線EM與FM的斜率之積等于．設點M的軌跡為曲線C，經過點且斜率為k的直線l與曲線C有兩個不同的交點P和Q．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）設A，曲線C與y軸正半軸的交點為B，是否存在常數k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設點M（x，y），由題意得點F（，0），，化簡可得曲線C的方程．
（Ⅱ） 直線l經過圓和y軸的交點（0，），直線l與曲線C有兩個不同的交點，故直線l與曲線C不能相切，k≠0．
（Ⅲ） 把直線l的方程代入曲線C的方程，利用根與系數的關系，求得   的坐標，再利用
與共線，求出 k值．
解答：解：（Ⅰ）設點M（x，y），由題意得點F（，0），，化簡可得 x²+y²=2，
故曲線C的方程為  x²+y²=2，表示以原點為圓心，以為半徑的圓．
（Ⅱ）∵點是圓和y軸的交點，經過點且斜率為k的直線l與曲線C有兩個不同的交點P和Q，
∴線l與曲線C不能相切，∴k≠0．
（Ⅲ） 把直線l的方程 y-=k（x-0）代入曲線C的方程 x²+y²=2 得，（1+k²）x²+2kx=0．
設P（x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂），則  x₁+x₂=-，x₁•x₂=0．
∴=（x₁+x₂，kx₁++kx₂+ ）=（， ）．
由B（0，），A，∴=（-， ）．∵向量與共線，
∴•-（-）（ ）=0，=0，∴k=1．
即存在常數 k=1 滿足題中的條件．
點評：本題考查直接利用條件求點的軌跡方程的方法，向量坐標形式的運算，兩個向量共線的性質，準確計算是解題的難點．