Question

已知函數f（x）=

1

2

x²-alnx-

1

2

（a∈R，a≠0）．
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）對定義域內每一個x，總有f（x）≥0，則稱f（x）為“非負函數”，若f（x）在x∈[1，+∞）上是“非負函數”，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入曲線方程，求出f（1）的值，求出原函數的導函數，得到f′（1），由點斜式得切線方程；
（2）求出原函數的導函數，當a＜0時得到導函數在定義域內橫大于0，當a＞0時，求出導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，根據導函數在各區間段內的符號判斷原函數的單調性；
（3）由題意知對任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0，則只需任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．
然后分a＜0，0＜a≤1和a＞1研究原函數的單調性，求出函數f（x）在區間[1，+∞）上的最小值，由最小值大于等于0求解實數a的取值范圍．

解答：解：（1）a=2時，f（x）=

1

2

x2-2lnx-

1

2

，f（1）=0
f′(x)=x-

2

x

，f′（1）=-1
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程x+y-1=0
（2）f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

(x＞0)
①當a＜0時，f′(x)=

x2-a

x

＞0恒成立，函數f（x）的遞增區間為（0，+∞）
②當a＞0時，令f′（x）=0，解得x=

a

或x=-

a

x	（ 0， a ）	a	（  a ，+∞）
f′（x）	-		+
f（x）	減		增

所以函數f（x）的遞增區間為（

a

，+∞），遞減區間為（0，

a

）
（3）由題意知對任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0，則只需任意的
x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．
①當a＜0時，f（x）在[1，+∞）上是增函數，
所以只需f（1）≥0
而f（1）=

1

2

-aln1-

1

2

=0
所以a＜0滿足題意；
②當0＜a≤1時，0＜

a

≤1，f（x）在[1，+∞）上是增函數，
所以只需f（1）≥0
而f（1）=

1

2

-aln1-

1

2

=0
所以0＜a≤1滿足題意；
③當a＞1時，

a

＞1，f（x）在[1，

a

]上是減函數，
[

a

，+∞）上是增函數，
所以只需f（

a

）≥0即可
而f(

a

)＜f(1)=0
從而a＞1不滿足題意；
綜合①②③實數a的取值范圍為（-∞，0）∪（0，1]．

點評：本題考查了利用導數求曲線上過某點的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值，考查了數學轉化思想方法和分類討論的數學思想方法，關鍵是掌握不等式恒成立時所取的條件．是中檔題．