Question

已知數列{a_n}的各項均為正值，a₁=1，對任意n∈N^*，a_n+1²-1=4a_n（a_n+1），b_n=log₂（a_n+1）都成立．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n；
（3）當k＞7且k∈N^*時，證明對任意n∈N^*，都有

1

bn

+

1

bn+1

+

1

bn+2

+…+

1

bnk-1

＞

3

2

成立．

Answer 1

分析：（1）由n∈N*，

a

2 n+1

-1=4an(an+1)，得（a_n+1+2a_n+1）（a_n+1-2a_n-1）=0，應有a_n+1=2a_n+1，整理為a_n+1+1=2（a_n+1），通過等比數列{a_n+1}的通項求出
數列{a_n}的通項公式，再利用對數的計算法則求{b_n}的通項公式；
（2）由（1）c_n=a_n•b_n=n•（2ⁿ-1），要求數列{c_n}的前n項和T_n，先分組再利用錯位相消法和公式法求和．
（3）法1：設S=

1

bn

+

1

bn+1

+

1

bn+2

+…+

1

bnk-1

=

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

nk-1

，
從而，利用不等式(x+y)(

1

x

+

1

y

)≥4，即

1

x

+

1

y

≥

4

x+y

當且僅當x=y時等號成立推證．
法2：k≥8，S≥

1

n

+

1

n+1

+…+

1

8n-1

=

1

n

+…+

1

2n-1

+

1

2n

+…+

1

3n-1

+

1

3n

+…+

1

4n-1

+…+

1

8n-1

，合理分組進行分式放縮推證．

解答：解：（1）由n∈N*，

a

2 n+1

-1=4an(an+1)，得（a_n+1+2a_n+1）（a_n+1-2a_n-1）=0
∵數列{a_n}的各項均為正值，a_n+1+2a_n+1＞0，∴a_n+1=2a_n+1，整理為a_n+1+1=2（a_n+1）
又a₁+1=2≠0∴數列{a_n+1}為等比數列，
∴an+1=(a1+1)•2n-1=2n∴數列{a_n}的通項公式an=2n-1，
數列{b_n}的通項公式bn=log2(2n-1+1)=n．
（2）由（1）c_n=a_n•b_n=n•（2ⁿ-1）
所以T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n）
令T_n′=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ①
則2T_n′=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得-T_n′=1•2¹+2²+2³+2⁴+…++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2
（3）法1：設S=

1

bn

+

1

bn+1

+

1

bn+2

+…+

1

bnk-1

=

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

nk-1

∴2S=(

1

n

+

1

nk-1

)+(

1

n+1

+

1

nk-2

)+(

1

n+2

+

1

nk-3

)+…+(

1

nk-1

+

1

n

)
當x＞0，y＞0時，x+y≥2

xy

，

1

x

+

1

y

≥2

1 xy

，
∴(x+y)(

1

x

+

1

y

)≥4∴

1

x

+

1

y

≥

4

x+y

當且僅當x=y時等號成立．
∴上述（1）式中，k＞7，n＞0，n+1，n+2，…，nk-1全為正，
∴2S＞

4

n+nk-1

+

4

n+1+nk-2

+

4

n+2+nk-3

+…+

4

nk-1+n

=

4n(k-1)

n+nk-1

∴S＞

2(k-1)

1+k- 1 n

＞

2(k-1)

k+1

=2(1-

2

k+1

)＞2(1-

2

7+1

)=

3

2

法2∵k≥8，S≥

1

n

+

1

n+1

+…+

1

8n-1

=

1

n

+…+

1

2n-1

+

1

2n

+…+

1

3n-1

+

1

3n

+…+

1

4n-1

+…+

1

8n-1

＞

1

2n-1

+…+

1

2n-1

+

1

3n-1

+…+

1

3n-1

+

1

4n-1

+…+

1

4n-1

+…+

1

8n-1

+…+

1

8n-1

=

n

2n-1

+

n

3n-1

+

n

4n-1

+…+

n

8n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

=1+

1

4

+

1

5

+

1

7

+

1

8

=1+

83

140

+

1

8

＞1+

1

2

=

3

2

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，考查數列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．解題時要注意構造法的合理運用．