【題目】已知函數
（1）求函數
的極值；
（2）求證： 
；
（3）
，若對于任意的
，恒有
成立，求
的取值范圍．
【答案】（1）見解析； （2）
.
【解析】試題分析：（1）由題意，得
，得出函數的單調性，即可求得函數的極值；
（2）由（1）知
的極小值即為最小值，推得
，進而可證得結論；
（3）由題意
的解析式，求得
，令
，求得
，利用
得存在
，使
，且
在
上遞減， 
在
上遞增，求得函數的
的最小值，再轉化為函數
，利用導數
的單調性，即可求解實數
的取值范圍.
試題解析：
（1）由
可得，函數
在
單減，在
單增，所以函數
的極值在
取得，為極小值
；
（2）根據（1）知
的極小值即為最小值，即
可推得
當且僅當
取等，所以
，
所以有
（3）
∴
令
，則
，∴
在
上遞增
∵
，當
時， 
∴存在
，使
，且
在
上遞減， 
在
上遞增
∵
∴
，即
∵對于任意的
，恒有
成立
∴
∴
∴
∴
∴
，又
， 
∵
∴
，令
， 
，顯然
在
單增，而
， 
，
∴
∴
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】新冠肺炎疫情期間，為了減少外出聚集，“線上買菜”受追捧.某電商平臺在
地區隨機抽取了
位居民進行調研，獲得了他們每個人近七天“線上買菜”消費總金額（單位：元），整理得到如圖所示頻率分布直方圖.
（1）求
的值；
（2）從“線上買菜”消費總金額不低于
元的被調研居民中，隨機抽取
位給予獎品，求這位“線上買菜”消費總金額均低于
元的概率；
（3）若地區有萬居民，該平臺為了促進消費，擬對消費總金額不到平均水平一半的居民投放每人
元的電子補貼.假設每組中的數據用該組區間的中點值代替，試根據上述頻率分布直方圖，估計該平臺在地區擬投放的電子補貼總金額.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在三角形內，我們將三條邊的中線的交點稱為三角形的重心，且重心到任一頂點的距離是到對邊中點距離的兩倍類比上述結論：在三棱錐中，我們將頂點與對面重心的連線段稱為三棱錐的“中線”，將三棱錐四條中線的交點稱為它的“重心”，則棱錐重心到頂點的距離是到對面重心距離的______倍
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】根據下列條件解三角形，有兩解的有（ ）
A.已知a
，b＝2，B＝45°B.已知a＝2，b
，A＝45°
C.已知b＝3，c
，C＝60°D.已知a＝2
，c＝4，A＝45°
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以下命題為假命題的是( )
A. “若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實數根”的逆命題
B. “面積相等的三角形全等”的否命題
C. “若xy＝1，則x，y互為倒數”的逆命題
D. “若A∪B＝B，則AB”的逆否命題
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點曲線
的一個焦點， 
為坐標原點，點
為拋物線
上任意一點，過點
作
軸的平行線交拋物線的準線于
，直線
交拋物線于點
.
（Ⅰ）求拋物線
的方程；
（Ⅱ）求證：直線
過定點
，并求出此定點的坐標.
【答案】（I）
；（II）證明見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）將曲線
化為標準方程，可求得
的焦點坐標分別為
，可得
，所以
，即拋物線的方程為
；（Ⅱ）結合（Ⅰ），可設
，得
，從而直線
的方程為
,聯立直線與拋物線方程得
，解得
，直線
的方程為
，整理得
的方程為
，此時直線恒過定點
.
試題解析：（Ⅰ）由曲線
，化為標準方程可得
， 所以曲線
是焦點在
軸上的雙曲線，其中
，故
， 
的焦點坐標分別為
，因為拋物線的焦點坐標為
，由題意知
，所以
，即拋物線的方程為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線
的準線方程為
，設
，顯然
.故
，從而直線
的方程為
,聯立直線與拋物線方程得
，解得
①當
，即
時，直線
的方程為
，
②當
，即
時，直線
的方程為
，整理得
的方程為
，此時直線恒過定點
， 
也在直線
的方程為
上，故直線
的方程恒過定點
.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數
， 
（Ⅰ）當
時，求函數
的單調遞減區間；
（Ⅱ）若
時，關于
的不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）若數列
滿足
， 
，記
的前
項和為
，求證： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖（1），在平面六邊形
中，四邊形
是矩形，且
， 
， 
，點
， 
分別是
， 
的中點，分別沿直線
， 
將
， 
翻折成如圖（2）的空間幾何體
．
（Ⅰ）利用下列結論1或結論2，證明： 
、
、
、
四點共面；
結論1：過空間一點作已知直線的垂面，有且僅有一個．
結論2：過平面內一條直線作該平面的垂面，有且僅有一個．
（Ⅱ）若二面角
和二面角
都是
，求三棱錐
的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績分組區間是： 
，
，
，
，
.
（1）求圖中
的值；
（2）根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；
（3）若這100名學生語文成績某些分數段的人數
與數學成績相應分數段的人數
之比如下表所示，求數學成績在
之外的人數.
分數段 |
|
|
|
|
X:y | 1:1 | 2:1 | 3:4 | 4:5 |
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