Question

已知|

a

|=2|

b

|，且

b

≠

0

，函數f（x）=x²+|

a

|x-

a

•

b

只有一個零點，則

a

與

b

的夾角為（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  3

• C．

  2π

  3

• D．

  π

  4

Answer 1

分析：根據二次函數只有一個零點，由根的判別式列式化簡得|

a

|²=-4

a

•

b

．設

a

與

b

的夾角為α，由|

a

|=2|

b

|利用向量的數量積公式算出

a

•

b

=

1

2

|

a

|²cosα，從而得到cosα=-

1

2

，由此即可算出

a

與

b

的夾角大小．

解答：解：∵二次函數f（x）=x²+|

a

|x-

a

•

b

只有一個零點，
∴△=|

a

|²-4×1×（-

a

•

b

）=0，即|

a

|²=-4

a

•

b

．
設

a

與

b

的夾角為α，
∵|

a

|=2|

b

|，
∴

a

•

b

=

|a|

•

|b|

cosα=

1

2

|

a

|²cosα．
因此|

a

|²=-4

a

•

b

=-2|

a

|²cosα，解得cosα=-

1

2

，
∵α∈[0，π]，
∴α=

2π

3

，即

a

與

b

的夾角為

2π

3

．
故選：C

點評：本題給出以向量的數量積與模作為參數的二次函數，在二次函數有唯一零點的情況下求向量的夾角．著重考查了平面向量的數量積公式及其性質、二次函數的零點等知識，屬于中檔題．