Question

已知函數f（x）=2ax²+2x-3-a在區間[-1，1]上有零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：討論a 是否為0，當a≠0時，考慮△=0的情況以及在[-1，1]上具有單調性用零點定理解決．

解答：解：若a=0，則f（x）=2x-3，令f(x)=0⇒x=

3

2

∉[-1，1]，不符題意，故a≠0（2分）
當f（x）在[-1，1]上有一個零點時，此時

△=4+8a(3+a)=0 -1≤- 1 2a ≤1

或f（-1）•f（1）≤0
解得a=

-3- 7

2

或1≤a≤5（6分）
當f（x）在[-1，1]上有兩個零點時，則

a＞0 △=4+8a(3+a)＞0 -1＜- 1 2a ＜1 f(-1)＞0 f(1)＞0

或

a＜0 △=4+8a(3+a)＞0 -1＜- 1 2a ＜1 f(-1)＜0 f(1)＜0

解得a＞5或a＜

-3- 7

2

故實數a的取值范圍為(-∞，

-3- 7

2

]∪[1，+∞)．（12分）

點評：本題考查二次函數與方程之間的關系，二次函數在給定區間上的零點問題，要注意函數圖象與x軸相切的情況，屬于中檔題．