Question

過圓x²+y²=2外一點P（4，2）向圓引切線．
（1）求過點P的圓的切線方程；
（2）若切點為P₁、P₂，求直線P₁P₂的方程；
（3）求P₁、P₂兩點間的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，切線的斜率存在，設切線方程為 y-2=k（x-4），根據圓心到切線的距離等于半徑求得k的值，即可得到切線方程．
（2）設切點P（x₁，y₁ ）、Q （x₂，y₂），則兩條切線的方程可以寫成為 x₁x+y₁y=2，x₂x+y₂y=2．再由4x₁+2y₁=0，4x₂+2y₂=2 可得兩個切點都在直線4x+2y=2上，由此可得直線P₁P₂的方程．
（3）求出圓心（0，0）到直線P₁P₂的距離d，利用弦長公式求得P₁、P₂兩點間的距離．

解答：解：（1）由題意可得，切線的斜率存在，設切線方程為 y-2=k（x-4），即kx-y+2-4k=0，
則圓心O（0，0）到切線的距離

|2-4k|

k2+1

=

2

=半徑r，解得k=1，或k=

1

7

，
故切線的方程為 x-y-2=0，或 x-7y+10=0．
（2）設切點P（x₁，y₁ ）、Q （x₂，y₂），則兩條切線的方程可以寫成為 x₁x+y₁y=2，x₂x+y₂y=2．
再由點（4，2）為兩條切線的交點，故有4x₁+2y₁=0，4x₂+2y₂=2．
故兩個切點都在直線4x+2y=2上，故直線P₁P₂的方程為 2x+y-1=0．
（3）由于圓心（0，0）到直線P₁P₂的距離d=

|0+0-1|

4+1

=

5

5

，半徑等于

2

，
故弦長等于2

r2-d2

=2

2- 1 5

=

6 5

5

，
即P₁、P₂兩點間的距離為

6 5

5

．

點評：本題主要考查求圓的切線方程，點到直線的距離公式以及弦長公式的應用，屬于中檔題．