Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，且滿足S_n=2a_n-1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求和S1•

C

0n

+S2•

C

1n

+S3•

C

2n

+…+Sn+1•

C

nn

；
（3）設有m項的數列{b_n}是連續的正整數數列，并且滿足：lg2+lg(1+

1

b1

)+lg(1+

1

b2

)+…+lg(1+

1

bm

)=lg(log2am)．
問數列{b_n}最多有幾項？并求這些項的和．

Answer 1

（1）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，相減得a_n+1=2a_n+1-2a_n，即a_n+1=2a_n．
又S₁=2a₁-1，得a₁=1≠0，
∴數列{a_n}是以1為首項2為公比的等比數列，
∴a_n=2^n-1．…（5分）
（2）由（1）知S_n=2^n-1，
∴S₁•

C

0n

+S₂•

C

1n

+S₃•

C

2n

+…+S_n+1•

C

nn

=（2¹-1）•

C

0n

+（2²-1）•

C

1n

+（2³-1）•

C

2n

+…+（2ⁿ⁺¹-1）•

C

nn

=2（

C

0n

+2

C

1n

+2²

C

2n

+…+2ⁿ

C

nn

）-（

C

0n

+

C

1n

+

C

2n

+…+

C

nn

）
=2（1+2）ⁿ-2ⁿ
=2•3ⁿ-2ⁿ…（10分）
（3）由已知得2•

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bm+1

bm

=m-1．
又{b_n}是連續的正整數數列，
∴b_n=b_n-1+1．
∴上式化為

2(bm+1)

b1

=m-1．
又b_m=b₁+（m-1），消b_m得mb₁-3b₁-2m=0．
m=

3b1

b1-2

=3+

6

b1-2

，由于m∈N^*，
∴b₁＞2，
∴b₁=3時，m的最大值為9．
此時數列的所有項的和為3+4+5+…+11=63…（16分）