Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，其中．

（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；

（2）若，．

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，若無窮項(xiàng)等比數(shù)列始終滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

（1）當(dāng)，，求和時相鄰兩項(xiàng)組合得，然后再分組，利用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式求和.
（2）①當(dāng)，時,由條件可得，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成公差為4的等差數(shù)列，分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求通項(xiàng)公式可得答案.
②由①可求出，由可得，則可以得到，再討論當(dāng)時，成立，所以，時可用反證法說明不成立.

解：（1）當(dāng)時，，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為；

（2）①當(dāng)，時，由，所以

，

所以

所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成公差為4的等差數(shù)列，

所以，

所以；

②由①可知

設(shè)等比數(shù)列的公比為，

因?yàn)闊o窮項(xiàng)等比數(shù)列始終滿足，

所以當(dāng)時，，所以，

所以，

由，所以

當(dāng)時，成立，所以；

當(dāng)時，下證對任意不恒成立，

要證，即證

先證，從而得到，即

下證對任意的不恒成立，

令，所以要證對任意的不恒成立，

所以存在，當(dāng)時，

所以對任意的不恒成立．

所以當(dāng)時，對任意不恒成立，

所以，所以．