Question

判斷下列各函數的奇偶性：
（1）f(x)=(x-1)

1+x 1-x

；
（2）f(x)=

lg(1-x2)

|x2-2|-2

；
（3）f（x）=

x2+x    (x＜0) -x2+x    (x＞0)

．

Answer 1

分析：主要考查函數的奇偶性判斷的步驟：①求定義域②定義域是否關于原點對稱③化簡解析式后判斷f（-x）與f（x）的關系④得出結論

解答：解：（1）由

1+x

1-x

≥0，得定義域為[-1，1），
關于原點不對稱，∴f（x）為非奇非偶函數．
（2）由

1-x2＞0 |x2-2|-2≠0

得定義域為（-1，0）∪（0，1），
∴f(x)=

lg(1-x2)

-(x2-2)-2

=-

lg(1-x2)

x2

，
∵f(-x)=-

lg[1-(-x)2]

(-x)2

=-

lg(1-x2)

x2

=f（x）
∴f（x）為偶函數
（3）當x＜0時，-x＞0，則f（-x）=-（-x）²-x=-（x²+x）=-f（x），
當x＞0時，-x＜0，則f（-x）=（-x）²-x=-（-x²+x）=-f（x），
綜上所述，對任意的x∈（-∞，+∞），都有f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數．

點評：對于分段函數奇偶性的判斷，需特別注意x與-x所滿足的對應關系，即判斷x＞0時f（-x）與f（x）的關系，也要判斷x＜0時f（-x）與f（x）的關系．