Question

正態(tài)總體當μ＝0，σ＝1時的概率密度函數(shù)是

f(x)＝，x∈R．

(1)證明f(x)是偶函數(shù)；

(2)求f(x)的最大值；

(3)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明f(x)的增減性．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　用定義判定奇偶性，用單調(diào)性法求最值，用增減性的定義結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判定增減性． 　　解答　　(1)對于任意的x∈R， 　　f(－x)＝＝＝f(x)． 　　所以f(x)是偶函數(shù)． 　　(2)令z＝．當x＝0時，z＝0，ez＝1；當x≠1時，z＞0，ez＞1．由于ez是關(guān)于z的增函數(shù)，所以當x＝0(即z＝0)時，＝ez取得最小值，所以當x＝0時，f(x)＝取得最大值． 　　(3)任取x1＜0，x2＜0，且x1＜x2，有 　　＞， 　　所以＞， 　　所以＜， 　　即f(x1)＜f(x2)． 　　它表明當x＜0時，f(x)是遞增的． 　　同理可得，對于任取的x1＞0，x2＞0，且x1＜x2，那么有f(x1)＞f(x2)，即x＞0時，f(x)是遞減的． 　　評析　　本題主要考查統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識及函數(shù)的性質(zhì)．