Question

【題目】設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足a2＋c2－b2＝ac.

(1)求角B的大小；

(2)若2bcos A＝(ccosA＋acosC)，BC邊上的中線AM的長為，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

試題分析：利用余弦定理表示出，將已知等式變形后代入求出的值，由為三角形內角，利用特殊角的三角函數值就可求出的大小；

利用正弦定理化簡已知等式，求出的值，由為三角形內角，利用特殊角的三角函數值求出的大小，確定出的大小，設，利用余弦定理列出關于的方程，求出方程的解得到的值，確定出和，即可求出的面積。

解析：(1)由余弦定理，得cosB＝＝＝.

因為B是三角形的內角，所以B＝.

(2)由正弦定理，得＝＝，

代入2bcos A＝ (ccosA＋acosC)，

可得2sin BcosA＝ (sin CcosA＋sin AcosC)，

即2sin BcosA＝sin B.

因為B∈(0，π)，所以sin B≠0，

所以cosA＝，

所以A＝，則C＝π－A－B＝.

設AC＝m(m>0)，則BC＝m，

所以CM＝m.

在△AMC中，由余弦定理，得

AM2＝CM2＋AC2－2CM·AC·cos，

即()2＝m2＋m2－2·m·m·(－)，整理得m2＝4，解得m＝2.

所以S△ABC＝CA·CBsin＝×2×2×＝.