Question

在△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，且3AB=2AC，若

BE

CF

＜t恒成立，則t的最小值為

7

8

．

Answer 1

分析：要求t的最小值，即要求BE與CF比值的最大值，由AB與AC的關(guān)系，用AB表示出AC，在△ABE中，由余弦定理表示BE²，在△ACF中，利用余弦定理表示出CF²，并表示出BE與CF的平方比，分離出常數(shù)，由A為三角形的內(nèi)角，得到A的范圍，表示比值求出最大值，即可得到t的取值范圍．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

∵3AB=2AC，
∴AC=

3

2

AB，
又E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，
∴AE=

1

2

AC，AF=

1

2

AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA
=AB²+（

3

4

AB）²-2AB•

3

4

AB•cosA=

25

16

AB²-

3

2

AB²cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA
=（

1

2

AB）²+（

3

2

AB）²-2•

1

2

AB•

3

2

AB•cosA=

5

2

AB²-

3

2

AB²cosA，
∴

BE2

CF2

=

25 16 AB2- 3 2 AB2cosA

5 2 AB2- 3 2 AB2cosA

=

25 16 - 3cosA 2

5-3cosA 2

∴

BE

CF

=

25 16 - 3 2 cosA 5 2 - 3cosA 2

=

1- 15 40-24cosA

∵當(dāng)cosA取最小值時(shí)，

BE

CF

比值最大，
∴當(dāng)A→π時(shí)，cosA→-1，此時(shí)

BE

CF

達(dá)到最大值，最大值為

1- 15 40+24

=

7

8

則

BE

CF

＜t恒成立，t的最小值為

7

8

故答案為：

7

8

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及不等式恒成立時(shí)滿足的條件，余弦定理建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵