Question

在△ABC中，E，F分別為AB，AC的中點，P為EF上的任一點，實數x，y滿足

PA

+

xPB

+y

PC

=

0

，設△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S₁，S₂，S₃，記

S1

S

=λ1，

S2

S

=λ2，

S3

S

=λ3，則λ₂•λ₃取到最大值時，2x+y的值為（　　）

• A．-1
• B．1
• C．-

  3

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：根據三角形中位線的性質，可得P到BC的距離等于△ABC的BC邊上高的一半，從而得到S₁=

1

2

S=S₂+S₃．由此結合基本不等式求最值，得到當λ₂•λ₃取最大值時點P在EF的中點．再由向量的加法的四邊形法則，算出2

PA

+

PB

+

PC

=

0

，結合已知條件的等式，可求出x、y的值，從而算出2x+y的值．

解答：解：由題意，可得
∵EF是△ABC的中位線，
∴P到BC的距離等于△ABC的BC邊上高的一半，可得S₁=

1

2

S=S₂+S₃
由此可得λ₂•λ₃=

S2S3

S2

≤

( S2+S3 2 )

S2

=

1

16

當且僅當S₂=S₃時，即P為EF的中點時，等號成立．
∴

PE

+

PF

=

0

由向量的加法的四邊形法則可得，

PA

+

PB

=2

PE

，

PA

+

PC

=2

PF

∴兩式相加，得2

PA

+

PB

+

PC

=

0

∵由已知得

PA

+

xPB

+y

PC

=

0

∴根據平面向量基本定理，得x=y=

1

2

，從而得到2x+y=

3

2

綜上所述，可得當λ₂•λ₃取到最大值時，2x+y的值為

3

2

故選：D

點評：本題給出三角形中的向量等式，在已知面積比λ₂、λ₃的積達到最大值的情況下求參數x、y的值，著重考查了運用基本不等式求最值、平面向量的加法法則和平面向量基本定理等知識，屬于中檔題．