Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90^o，AC=1，CB=

2

，側棱AA₁=1，側面AA₁B₁B的兩條對角線交點為D，B₁C₁的中點為M．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B₁BD與面CBD所成二面角的大小．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）如圖，連接CA₁、AC₁、CM，要證CD⊥平面BDM，只需證明直線CD垂直平面BDM內兩條相交直線A₁B、DM即可；
（Ⅱ）設F、G分別為BC、BD的中點，連接B₁G、FG、B₁F，說明∠B₁GF
是所求二面角的平面角，然后解三角形，求面B₁BD與面CBD所成二面角的大小．
法二：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出相關向量計算

CD

•

A1B

=0，

CD

•

DM

=0即得證，
（Ⅱ）求出面B₁BD與面CBD的法向量，利用向量的數量積求解可得答案．

解答：解：法一：（I）如圖，連接CA₁、AC₁、CM，則CA₁=

2

，
∵CB=CA₁=

2

，∴△CBA₁為等腰三角形，
又知D為其底邊A₁B的中點，∴CD⊥A₁B，
∵A₁C₁=1，C₁B₁=

2

，∴A₁B₁=

3

，
又BB₁=1，∴A₁B=2，
∵△A₁CB為直角三角形，D為A₁B的中點，CD=

1

2

A₁B=1，CD=CC₁．
又DM=

1

2

AC₁=

2

2

，DM=C₁M，∴△CDN≌△CC₁M，∠CDM=∠CC₁M=90°，即CD⊥DM，
因為A₁B、DM為平面BDM內兩條相交直線，所以CD⊥平面BDM．

（II）設F、G分別為BC、BD的中點，連接B₁G、FG、B₁F，
則FG∥CD，FG=

1

2

CD．∴FG=

1

2

，FG⊥BD．
由側面矩形BB₁A₁A的對角線的交點為D，知BD=B₁D=

1

2

A₁B=1，
所以△BB₁D是邊長為1的正三角形，于是B₁G⊥BD，B₁G=

3

2

，
∴∠B₁GF是所求二面角的平面角．
又B₁F²=B₁B²+BF²=1+（

2

2

）²=

3

2

．
∴cos∠B₁GF=

B1G2+FG2-B1F2

2B1G•FG

=

( 3 2 )2+( 1 2 )2- 3 2

2• 3 2 • 1 2

=-

3

3

．
即所求二面角的大小為π-arccos

3

3

．

法二：如圖以C為原點建立坐標系．
（I）B（

2

，0，0），B₁（

2

，1，0），A₁（0，1，1），D（

2

2

，

1

2

，

1

2

），
M（

2

2

，1，0），

CD

=（

2

2

，

1

2

，

1

2

），

A1B

=（

2

，-1，-1），

DM

=（0，

1

2

，-

1

2

），

CD

•

A1B

=0，

CD

•

DM

=0，
∴CD⊥A₁B，CD⊥DM．
因為A₁B、DM為平面BDM內兩條相交直線，
所以CD⊥平面BDM．

（II）設BD中點為G，連接B₁G，
則G(

3 2

4

，

1

4

，

1

4

)，

BD

=（-

2

2

，

1

2

，

1

2

），

B1G

=(-

2

4

，-

3

4

，

1

4

)，
∴

BD

•

B1G

=0，∴BD⊥B₁G，
又CD⊥BD，∴

CD

與

B1G

的夾角θ等于所求二面角的平面角，
cosθ=

CD • B1G

| CD |•| B1G |

=-

3

3

.
所以所求二面角的大小為π-arccos

3

3

．

點評：本題考查直線與平面的垂直判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．