Question

設直線l過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點F，且與該拋物線交于A、B兩點，l的斜率為k，點C（0，t），當k=0，t=1+2時，△ABC為等邊三角形．
（Ⅰ）求拋物線的方程．
（Ⅱ）若不論實數k取何值，∠ACB始終為鈍角，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線l過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點F，l的斜率為k，知直線l的方程為：y=kx+，當k=0時，y=，C（0，1+2），CF=1+2-，AB=2p，由此利用△ABC是等邊三角形，能求出拋物線的方程．
（2）由（1）知，拋物線的方程為x²=4y，直線l的方程為：y=kx+1，聯立，得x²-4kx-4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，由C（0，t），知，，由不論實數k取何值，∠ACB始終為鈍角，知=x₁x₂+（y₁-t）（y₂-t）＜0，由此能求出實數t的取值范圍．
解答：解：（1）∵直線l過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點F，l的斜率為k，
∴直線l的方程為：y=kx+，
當k=0時，y=，C（0，1+2），CF=1+2-，AB=2p，
∵△ABC是等邊三角形，
∴4p²-p²=（1+2-）²，解得p=2．
∴拋物線的方程為x²=4y．
（2）由（1）知，拋物線的方程為x²=4y，直線l的方程為：y=kx+1，
聯立，得x²-4kx-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴y₁y₂=（kx₁+1）•（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-4k²+4k²+1=1，
y₁+y₂=（kx₁+1）+（kx₂+1）=k（x₁+x₂）+2=4k²+2，
∵C（0，t），∴，，
∵不論實數k取何值，∠ACB始終為鈍角，
∴＜0，
∴=x₁x₂+（y₁-t）（y₂-t）
=x₁x₂+y₁y₂-t（y₁+y₂）+t²
=-4+1-4k²t-2t+t²
=t²-（4k²+2）t-3＜0．
∴以k為自變量的不等式4tk²+2t-t²+3＞0的解集是R，
∴t=0，或，
即t=0，或，
解得0≤t＜3．
∴實數t的取值范圍是[0，3）．
點評：本題考查拋物線的方程的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．