Question

若=，=（sinωx，sinωx），其中ω＞0，記函數f（x）=2•，f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離為，
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的單調減區間和f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合．

Answer 1

解：∵=，=（sinωx，sinωx）
∴•=sinωxcosωx+sin²ωx=sin2ωx+（1-cos2ωx）
故f（x）=2•==…（4分）
（1）∵f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離為
∴可得，解之得ω=1．…（6分）
（2）由（1）得f （x）=2sin（2x-）+1
由，可得
∴f（x）的單調減區間為…（8分）
當2x-=（k∈Z），即x=時，函數的最大值f_max（x）=3
∴f（x）的最大值為3，取得最大值時x的取值集合為…（12分）
分析：（1）根據向量數量積的坐標運算公式，結合二倍角的三角函數公式和輔助角公式化簡得f（x）=，再由正弦函數周期公式，建立ω的等式并解之即可得ω的值；
（2）根據正弦函數單調區間的公式解關于x的不等式，即可得到f（x）的單調減區間．再根據正弦函數的值域和函數取最大值時x的取值，解關于x的方程即可得到f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合．
點評：本題以向量的數量積運算為載體，給出三角函數式求函數的單調區間和周期，并求取得最大值時x的取值集合，著重考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．