Question

12、已知曲線方程f（x）=sin²x+2ax（a∈R），若對任意實數m直線l：x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線，則a的取值范圍是

a＜-1或a＞0

．

Answer 1

分析：先將條件“對任意實數m直線l：x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線”轉化成f'（x）=-1無解，然后求出2sinxcosx+2a=-1有解時a的范圍，最后求出補集即可求出所求．

解答：解：∵對任意實數m直線l：x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線
∴曲線y=f（x）的切線的斜率不可能為-1
即f'（x）=2sinxcosx+2a=-1無解
∵0≤sin2x+1=-2a≤2
∴-1≤a≤0時2sinxcosx+2a=-1有解
∴對任意實數m直線l：x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線，則a的取值范圍是a＜-1或a＞0
故答案為：a＜-1或a＞0

點評：本題解題的關鍵是對“對任意實數m直線l：x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線”的理解，同時考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及轉化的數學思想，屬于基礎題．