Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F、P、Q分別是BC、C₁D₁、AD₁、BD的中點.

(1)求證：PQ∥平面DCC₁D₁.

(2)求PQ的長.

(3)求證：EF∥平面BB₁D₁D.

Answer 1

證明：(1)連結AC、CD₁.

∵P、Q分別為AD₁、AC中點，∴PQ∥CD₁.

又CD₁平面DCC₁D₁，∴PQ∥平面DCC₁D₁.

(2)解：由(1)中證明易知PQ=D₁C=a.

(3)證明：取B₁D₁的中點O₁，連結BO₁、FO₁，

則有FO₁B₁C₁,BEFO₁.

∴四邊形BEFO₁是平行四邊形.∴EF∥BO₁.

又EF平面BB₁D₁D，BO₁平面BB₁D₁D，

∴EF∥平面BB₁D₁D.