Question

19.如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點F₁，F₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點為M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1.

    (Ⅰ)求橢圓的方程；

    (Ⅱ)若點P為l上的動點，求∠F₁PF₂最大值.

Answer 1

19.本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、兩條直線的夾角等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為　（a＞b＞0）,半焦距為c，則

｜MA₁｜＝－a,|A₁F₁|＝a－c,

解得a=2,b=,c=1.

故橢圓方程為.

(Ⅱ)設(shè)P（－4，y₀）,y₀≠0，

則直線PF₁的斜率k₁=－,直線PF₂的斜率k₂=－.

∵0＜∠F₁PF₂＜∠PF₁M＜.

∴∠F₁PF₂為銳角。

∴tan∠F₁PF₂=||=

            ≤。

當(dāng)｜y₀｜=,即y₀=±時，

tan∠F₁PF₂取到最大值，此時∠F₁PF₂基大，

故∠F₁PF₂的最大值為arctan.