Question

函數f(x)=log

1

2

(sinx-cosx)的定義域是

 

，值域是

 

．

Answer 1

分析：根據題意，對數函數的定義域要求對數的真數大于0，利用三角函數的圖象，求出定義域，先利用兩角和公式對sinx-cosx化簡整理，進而根據正弦函數的性質求得函數的最大和最小值，即可求出值域．

解答：解：sinx-cosx＞0
即sinx＞cosx
結合圖象
可知在一個周期[0，2π]上，
滿足條件的范圍是（

π

4

，

5π

4

）
∴函數的定義域{x|2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，k∈Z}．
y=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

）
∵sinx-cosx＞0
∴0＜

2

sin（x-

π

4

）≤

2

∴函數的值域為{y|y≥-

1

2

}
故答案為：{x|2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，k∈Z}，{y|y≥-

1

2

}

點評：本題主要考查了對數函數的定義域和值域．解題的關鍵是對sinx-cosx的化簡，以及對正弦函數的基礎知識的熟練記憶．