Question

(本小題滿分12分)函數，．

（Ⅰ）求的單調區間和最小值；

（Ⅱ）討論與的大小關系；

（Ⅲ）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在是函數的減區間;是函數的增區間.的最小值是．（II）當時，；當時，．

（Ⅲ）不存在.

【解析】

試題分析：（1）∵，∴（為常數），又∵，所以，即，

∴；，∴，令，即，解得，

因為＞，所以＜0，＜0，

當時，，是減函數，故區間在是函數的減區間；

當時，，是增函數，故區間在是函數的增區間；

所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，

所以的最小值是．…………4分

（2），設，則，

當時，，即，當時，，，

因此函數在內單調遞減，當時，=0，∴；

當時，=0，∴．…………8分

（3）滿足條件的不存在．證明如下：

證法一 假設存在，使對任意成立，

即對任意有              ①

但對上述的，取時，有，這與①左邊的不等式矛盾，

因此不存在，使對任意成立．  …………12分

證法二 假設存在，使對任意成立，

由（1）知，的最小值是，

又，而時，的值域為，

∴當時，的值域為，

從而可以取一個值，使，即,∴

，這與假設矛盾．

∴不存在，使對任意成立

考點：利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的最值。

點評：利用導數求函數的單調區間，一定要先求函數的定義域。此題的綜合性較強，對學生的能力要求較高。