【題目】如圖，在四棱錐
中，四邊形ABCD為平行四邊形，且
，
，
平面PAC.
（1）求證：
平面
；
（2）若異面直線PC與AD所成的角為30°，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）根據線面垂直判斷定理:如果一條直線垂直一個平面內的兩條相交線,那么這條線垂直這個平面，要證
平面
，只需證明
和
，即可求得答案；
（2）先求證
平面
，以A為坐標原點，AB，AC所在直線分別為x，y軸，過點A且與PE平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，求得平面PBC的法向量為
，平面PDC的法向量為
，根據
，即可求得答案.
（1）在
中，
，
，
由余弦定理得：
，
，
，即
平面PAC，
平面PAC，
.
又
平面PAB，
平面PAB，
，
平面PAB.
（2）
，
是異面直線PC與AD所成的角，
又平面
，
，在
中，
，
，
，
，易知
，
在
中，
，
，取AB的中點E，連接PE，則
.
由（1）知平面PAB，
，
又平面，平面ABCD，
，
平面ABCD，
如圖，以A為坐標原點，AB，AC所在直線分別為x，y軸，過點A且與PE平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
可得：
，
，
，
設平面PBC的法向量為
，
則
取
，則
，
，是平面PBC的一個法向量
設平面PDC的法向量為
，
則
，
則
，取
，則
，
，是平面PDC的一個法向量.
，
由圖可知二面角
是鈍二面角，
二面角的余弦值為.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為響應黨中央“扶貧攻堅”的號召，某單位指導一貧困村通過種植紫甘薯來提高經濟收入.紫甘薯對環境溫度要求較高，根據以往的經驗，隨著溫度的升高，其死亡株數成增長的趨勢.下表給出了2017年種植的一批試驗紫甘薯在溫度升高時6組死亡的株數：
經計算： 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，其中
分別為試驗數據中的溫度和死亡株數， 
.
（1）若用線性回歸模型，求
關于
的回歸方程
（結果精確到
）；
（2）若用非線性回歸模型求得
關于
的回歸方程為
，且相關指數為
.
（i）試與（1）中的回歸模型相比，用
說明哪種模型的擬合效果更好；
（ii）用擬合效果好的模型預測溫度為
時該批紫甘薯死亡株數（結果取整數）.
附：對于一組數據
， 
，……， 
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為： 
；相關指數為： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在
中，
，
.已知
分別是
的中點.將
沿
折起，使
到
的位置且二面角
的大小是60°，連接
，如圖：
（1）證明：平面
平面
（2）求平面
與平面
所成二面角的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于某種類型的口服藥，口服
小時后，由消化系統進入血液中藥物濃度
（單位）與時間小時的關系為
，其中
，
為常數，對于某一種藥物
，
，
．
（1）口服藥物后______小時血液中藥物濃度最高；
（2）這種藥物服藥
小時后血液中藥物濃度如下表
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 0.9545 | 0.9304 | 0.6932 | 0.4680 | 0.3010 | 0.1892 | 0.1163 | 0.072 |
一個病人上午8：00第一次服藥，要使得病人血液中藥物濃度保持在0.5個單位以上，第三次服藥時間是______（時間以整點為準）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學從甲乙兩個教師所教班級的學生中隨機抽取100人，每人分別對兩個教師進行評分，滿分均為100分，整理評分數據，將分數以10為組距分成6組：
，
，
，
，
，
.得到甲教師的頻率分布直方圖，和乙教師的頻數分布表：
乙教師分數頻數分布表 | |
分數區間 | 頻數 |
| 3 |
| 3 |
| 15 |
| 19 |
| 35 |
| 25 |
（1）在抽樣的100人中，求對甲教師的評分低于70分的人數；
（2）從對乙教師的評分在
范圍內的人中隨機選出2人，求2人評分均在范圍內的概率；
（3）如果該校以學生對老師評分的平均數是否大于80分作為衡量一個教師是否可評為該年度該校優秀教師的標準，則甲、乙兩個教師中哪一個可評為年度該校優秀教師？（精確到0.1）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平行四邊形
中，
，
，
，
是EA的中點（如圖1），將
沿CD折起到圖2中
的位置，得到四棱錐是
．
（1）求證：
平面PDA；
（2）若PD與平面ABCD所成的角為
．且
為銳角三角形，求平面PAD和平面PBC所成銳二面角的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，底面
是直角梯形，
,
，
,側面
底面,且
是以
為底的等腰三角形.
（Ⅰ）證明：
（Ⅱ）若四棱錐的體積等于
.問：是否存在過點
的平面
分別交
，
于點
，使得平面
平面
？若存在，求出
的面積；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】由團中央學校部、全國學聯秘書處、中國青年報社共同舉辦的2018年度全國“最美中學生”尋訪活動結果出爐啦，此項活動于2018年6月啟動，面向全國中學在校學生，通過投票方式尋訪一批在熱愛祖國、勤奮學習、熱心助人、見義勇為等方面表現突出、自覺樹立和踐行社會主義核心價值觀的“最美中學生”.現隨機抽取了30名學生的票數，繪成如圖所示的莖葉圖，若規定票數在65票以上（包括65票）定義為風華組.票數在65票以下（不包括65票）的學生定義為青春組.
（1）如果用分層抽樣的方法從青春組和風華組中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，那么至少有1人在青春組的概率是多少？
（2）用樣本估計總體，把頻率作為概率，若從該地區所有的中學（人數很多）中隨機選取4人，用
表示所選4人中青春組的人數，試寫出的分布列，并求出的數學期望.
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