Question

已知集合M={f(x)|f(x)+f(x+2)=f(x+1),x∈R},g(x)=sinx.

(1)判斷g(x)與M間的關系,并說明理由;

(2)M中的元素是否都是周期函數,證明你的結論;

(3)M中的元素是否都是奇函數,證明你的結論.

Answer 1

思路分析:f(x)是一個抽象函數,g(x)是一個具體函數,(1)就是讓我們判斷g(x)是否為f(x)的一個“原函數”,也就是說,g(x)是否滿足g(x)+g(x+2)=g(x+1);若g(x)∈M,g(x)為周期函數,其周期為6,那么f(x)也應該是周期函數,其周期也應是6.這就為我們解答(2)指明了方向.

解:(1)∵sinx+sin(x+2)

=2sin(x+1)cos=sin(x+1),

    即g(x)+g(x+2)=g(x+1),

∴g(x)∈M.

(2)∵f(x)+f(x+2)=f(x+1),

∴f(x+1)+f(x+3)=f(x+2),

    由此得出f(x+3)+f(x)=0,

    即f(x+3)=-f(x).

∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x).

    這就表明,f(x)是周期函數,其周期為6.

(3)類似(2),可以證明y=cosx也是M中的元素,但y=cosx不是奇函數.