Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“好集合”．給出下列4個集合：
①M={(x，y)|y=

1

x

}
②M={（x，y）|y=e^x-2}
③M={（x，y）|y=cosx}
④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“好集合”的序號是（　　）

A．①②④

B．②③

C．③④

D．①③④

Answer 1

分析：對于①，利用漸近線互相垂直，判斷其正誤即可．
對于②，畫出圖象，說明滿足好集合的定義，即可判斷正誤；
對于③，畫出函數圖象，說明滿足好集合的定義，即可判斷正誤；
對于④，畫出函數圖象，取一個特殊點即能說明不滿足好集合定義．

解答：解：對于①y=

1

x

是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角為90°，
在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，滿足好集合的定義；
對任意（x₁，y₁）∈M，在另一支上也不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
所以不滿足好集合的定義，不是好集合．
對于②M={（x，y）|y=e^x-2}，如圖（2）在曲線上兩點構成的直角始存在，例如取M（0，-1），N（ln2，0），滿足好集合的定義，所以正確．
對于③M={（x，y）|y=cosx}，如圖（3）對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
例如（0，1）、（

π

2

，0），∠yox=90°，滿足好集合的定義，旋轉90°，都能在圖象上找到滿足題意的點，
所以集合M是好集合；
對于④M={（x，y）|y=lnx}，如圖（4）取點（1，0），曲線上不存在另外的點，使得兩點與原點的連線互相垂直，所以不是好集合．
故選B．

點評：本題考查了命題真假的判斷與應用，考查了元素與集合的關系，考查了數形結合的思想，解答的關鍵是對新定義的理解，是中檔題．