Question

已知正三棱臺的側(cè)面和下底面所成的二面角為60°，棱臺下底面的邊長為a，側(cè)面積為S，求棱臺上底面的邊長．

Answer 1

設(shè)O，O₁分別為下，上底面中心，連接OO₁，則OO₁⊥平面ABC，上底面邊長為x，連接AO，A₁O₁并延長交BC，B₁C₁分別于D、D₁兩點．

則AD⊥BC，連接DD₁，則DD₁⊥BC，∠ADD₁為二面角A－BC－D₁的平面角，即∠ADD₁＝60°，過D₁作D₁E∥OO₁交AD于E，則D₁E⊥平面ABC．

在正△ABC，△A₁B₁C₁中，AD＝，A₁D₁＝．

在Rt△D₁ED中，ED＝OD－OE＝（AD－A₁D₁）＝（a－x）．

則D₁D＝2ED＝（a－x），由題意S＝3·．

即S＝（a²－x²）．解得x＝．