Question

已知橢圓的面積為πab，設平面區域．
（Ⅰ）求平面區域M的面積；
（Ⅱ）若動直線x=t被平面區域M截得的線段長為d，試用t表示d并求出d的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得：平面區域M如圖中陰影部分，則它的面積為此橢圓面積的再減去△OAB的面積，結合題中的條件計算出各部分的面積進而達到答案．
（II）直線x=t在平面區域M中截得的線段長，再利用三角換元的有關知識與三角函數的有關性質求出最大值即可．
解答：解：（I）由題意可得：平面區域M如圖中陰影部分，則它的面積為此橢圓面積的再減去△OAB的面積，---（3分）
由題中的條件可得：橢圓面積的為，三角形OAB的面積為1，
所以陰影部分的面積為；---（6分）
（II）直線x=t在平面區域M中截得的線段長，---（10分）
設，
則有
根據三角函數的性質可得：當時，．---（14分）
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握三角換元與三角函數的有關性質，以及橢圓的標準方程與性質，此題屬于中檔題．