Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，長軸在x軸上，F₁，F₂分別為其左、右焦點，P為橢圓上任意一點，且·的最大值為1，最小值為－2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設A為橢圓C的右頂點，直線l是與橢圓交于M，N兩點的任意一條直線，若AM⊥AN，證明直線l過定點．

Answer 1

【考點分析】本小題主要考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系等基礎知識；考查解析幾何的基本思想方法；考查分析問題、解決問題

解:(1)設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，P(x₀，y₀)為橢圓上任意一點，

所以＝(x₀＋c，y₀)，＝(x₀－c，y₀)，

所以·＝x＋y－c²，

又因為＋＝1，  所以·＝x＋b²－x－c²＝x＋b²－c².

因為0≤x≤a²，所以b²－c²≤·≤b²，

因此所以   因此a²＝4.

所以橢圓方程為＋y²＝1.

(2)①若直線l不垂直于x軸，設該直線方程為y＝kx＋m，M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

由得x²＋4(k²x²＋2kmx＋m²)＝4，

化簡得(1＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－4＝0，

所以x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，

y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝

－＋m²＝.

因為AM⊥AN，    所以A·A＝y₁y₂＋(x₁－2)(x₂－2)＝0，

所以y₁y₂＋x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋4＝0，

所以＋＋＋4＝0，

去分母得m²－4k²＋4m²－4＋16km＋4＋16k²＝0，整理得

即12k²＋16km＋5m²＝0，整理得(2k＋m)(6k＋5m)＝0，所以k＝－，或k＝－m，

當k＝－時，l：y＝－x＋m＝m過定點(2,0)，顯然不滿足題意；

當k＝－m時，l：y＝－x＋m＝m過定點.

②若直線l垂直于x軸，設l與x軸交于點(x_0,0)，由橢圓的對稱性可知△MNA為等腰直角三角形，

所以 ＝2－x₀，化簡得5x－16x₀＋12＝0，

解得x₀＝或2(舍)，  即此時直線l也過定點.