Question

過拋物線y²=5x的焦點F作直線m，交該拋物線于A，B 兩點，線段AB的中點為M，則點M到y軸的最近距離為

5

4

．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得所求距離d=

x1+x2+ 5 4

2

-

5

4

=

|AB|

2

-

5

4

，由通徑的性質可得結果．

解答：解：由拋物線的方程為y²=5x，可得2p=5，

p

2

=

5

4

，
故焦點F的坐標為（

5

4

，0），準線方程為：x=-

5

4

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則A，B 兩點到準線的距離之和為x1+x2+

5

2

，
故線段AB的中點M到準線的距離之和為

x1+x2+ 5 4

2

因此M到y軸的距離為d=

x1+x2+ 5 4

2

-

5

4

，
由拋物線的定義可知A，B 兩點到準線的距離之和
等于A，B 兩點到焦點的距離之和，即x1+x2+

5

2

=|AB|，
故d=

|AB|

2

-

5

4

，又知當直線m⊥x軸時，|AB|取最小值2p=5
故可得d=

|AB|

2

-

5

4

≥

5

2

-

5

4

=

5

4

故答案為：

5

4

點評：本題考查拋物線的簡單性質，涉及拋物線的定義和通徑最短的性質，屬中檔題．