Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，P、Q分別為邊AB、DA上的點(diǎn)．設(shè)∠BCP=α，∠DCQ=β，若△APQ的周長(zhǎng)為4，則α+β=（　　）

A．15°

B．30°

C．45°

D．60°

Answer 1

分析：延長(zhǎng)AB到E，使|BE|=|DQ|，連接CE，利用SAS得到△CDQ≌△CBE，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)定義表示出tanα+tanβ與tanαtanβ，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)tan（α+β），將表示出tanα+tanβ與tanαtanβ代入計(jì)算求出tan（α+β）的值，即可求出α+β的度數(shù)．

解答：解：延長(zhǎng)AB到E，使|BE|=|DQ|，連接CE，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠D=∠CBE=90°，|CD|=|CB|，
∴△CDQ≌△CBE（SAS），
∴∠BCE=∠DCQ=β，
在Rt△CDQ中，設(shè)|DQ|=|BE|=x，|CD|=2，
可得x=2tanβ，AQ=2-2tanβ，
在Rt△CPB中，設(shè)|PB|=y，|CB|=2，
可得y=2tanα，|AP|=2-2tanα，
又△APQ的周長(zhǎng)為4，
∴|PQ|=4-（|AQ|+|AP|）=4-（2-2tanβ+2-2tanα）=2（tanα+tanβ），即tanα+tanβ=

1

2

|PQ|，
在Rt△APQ中，根據(jù)勾股定理得：|PQ|=（2-2tanβ）²+（2-2tanα）²，
整理得：tanαtanβ=1-

1

2

|PQ|，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 2 |PQ|

1-(1- 1 2 |PQ|)

=1，
則α+β=45°．
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，銳角三角函數(shù)定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．