Question

已知

a

，

b

均為單位向量，其中夾角為θ，有下列四個命題
p₁：|

a

+

b

|＞1?θ∈[0，

2π

3

）      
p₂：|

a

+

b

|＞1?θ∈（

2π

3

，π]
p₃：|

a

-

b

|＞1?θ∈[0，

π

3

）       
p₄：|

a

-

b

|＞1?θ∈（

π

3

，π]
其中真命題是（　　）

A．p₂，p₃

B．p₁，p₃

C．p₁，p₄

D．p₃，p₄

Answer 1

分析：利用向量數量積的概念與性質對p_i（i=1，2，3，4）逐個判斷即可．

解答：解：∵

a

，

b

均為單位向量，其中夾角為θ，
∴p₁：|

a

+

b

|＞1?|

a

+

b

|2＞1?1+1+2

a

•

b

＞1?

a

•

b

＞-

1

2

?cosθ＞-

1

2

，而θ∈[0，π]，
∴θ∈[0，

2π

3

），即p₁正確，從而p₂錯誤；
p₃：|

a

-

b

|＞1?|

a

-

b

|2＞1?1+1-2

a

•

b

＞1?

a

•

b

＜

1

2

?cosθ＜

1

2

，而θ∈[0，π]，
∴θ∈（

π

3

，π]，故p₃錯誤，p₄正確．
綜上所述，p₁正確，p₄正確．
故選C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查向量數量積的概念與性質及其應用，|

a

+

b

|2＞1轉化為cosθ＞-

1

2

是關鍵，屬于中檔題．