Question

將完全相同的3個球隨機地放入1，2，3號盒子中（每盒放球數不限），求：
（1）3個球放入同一個盒子的概率；
（2）3個盒子中都有球的概率；
（3）至少有一個盒子沒球的概率；
（4）恰有一個盒子沒有球的概率．

Answer 1

解：由分步乘法原理可知，將完全相同的3個球隨機地放入1，2，3號盒子中，共有3³=27種放法，每種放法是等可能的．
（1）記“3個球放入同一個盒子的概率”為事件A．
3個球放入同一個盒子的放法有3種：3個球放入1號盒子，或2號盒子，或3號盒子．
故．
（2）記“3個球放入3個盒子，每個盒子中都有球”為事件B．
3個球放入3個盒子，每個盒子中都有球，等價于每個盒子只放1個球，有=6種方法．
故．
（3）記“3個球放入3個盒子，至少有一個盒子沒球”為事件C．
因為事件C是事件B的對立事件，所以．
（Ⅳ）記“3個球放入3個盒子，恰有一個盒子沒有球”為事件D．由題意可知，C=D+A．
因為事件D和A是互斥事件，所以P（C）=P（D）+P（A），．
分析：由分步乘法原理可知，將完全相同的3個球隨機地放入1，2，3號盒子中，共有3³=27種放法，每種放法是等可能的．
（1）事件A“3個球放入同一個盒子”的放法有3種：3個球放入1號盒子，或2號盒子，或3號盒子．利用古典概型的概率計算公式即可得出．
（2）事件B“3個球放入3個盒子，每個盒子中都有球”，等價于每個盒子只放1個球，有種方法．利用古典概型的概率計算公式即可得出．
（3）事件C“3個球放入3個盒子，至少有一個盒子沒球”與事件B是對立事件，利用對立事件的概率計算公式即可得出．
（4）事件D“3個球放入3個盒子，恰有一個盒子沒有球”與事件D，A的關系是：C=D+A，并且事件D和A是互斥事件，利用互斥事件的概率計算公式即可得出．
點評：正確理解分步乘法原理、古典概型的概率計算公式、對立事件的概率計算公式、互斥事件的概率計算公式、全排列的意義是解題的關鍵．