Question

將完全相同的3個球隨機地放入1，2，3號盒子中（每盒放球數不限），求：
（1）3個球放入同一個盒子的概率；
（2）3個盒子中都有球的概率；
（3）至少有一個盒子沒球的概率；
（4）恰有一個盒子沒有球的概率．

Answer 1

分析：由分步乘法原理可知，將完全相同的3個球隨機地放入1，2，3號盒子中，共有3³=27種放法，每種放法是等可能的．
（1）事件A“3個球放入同一個盒子”的放法有3種：3個球放入1號盒子，或2號盒子，或3號盒子．利用古典概型的概率計算公式即可得出．
（2）事件B“3個球放入3個盒子，每個盒子中都有球”，等價于每個盒子只放1個球，有

A

3 3

種方法．利用古典概型的概率計算公式即可得出．
（3）事件C“3個球放入3個盒子，至少有一個盒子沒球”與事件B是對立事件，利用對立事件的概率計算公式即可得出．
（4）事件D“3個球放入3個盒子，恰有一個盒子沒有球”與事件D，A的關系是：C=D+A，并且事件D和A是互斥事件，利用互斥事件的概率計算公式即可得出．

解答：解：由分步乘法原理可知，將完全相同的3個球隨機地放入1，2，3號盒子中，共有3³=27種放法，每種放法是等可能的．
（1）記“3個球放入同一個盒子的概率”為事件A．
3個球放入同一個盒子的放法有3種：3個球放入1號盒子，或2號盒子，或3號盒子．
故P(A)=

3

27

=

1

9

．
（2）記“3個球放入3個盒子，每個盒子中都有球”為事件B．
3個球放入3個盒子，每個盒子中都有球，等價于每個盒子只放1個球，有

A

3 3

=6種方法．
故P(B)=

6

27

=

2

9

．
（3）記“3個球放入3個盒子，至少有一個盒子沒球”為事件C．
因為事件C是事件B的對立事件，所以P(C)=1-P(B)=1-

2

9

=

7

9

．
（Ⅳ）記“3個球放入3個盒子，恰有一個盒子沒有球”為事件D．由題意可知，C=D+A．
因為事件D和A是互斥事件，所以P（C）=P（D）+P（A），P(D)=P(C)-P(A)=

7

9

-

1

9

=

2

3

．

點評：正確理解分步乘法原理、古典概型的概率計算公式、對立事件的概率計算公式、互斥事件的概率計算公式、全排列的意義是解題的關鍵．