Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn=k3n﹣m，且a1=3，a3=27．
（I）求證：數列{an}是等比數列；
（II）若anbn=log3an+1 ， 求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】證明：（I）∵ ，∴S1=a1=3k﹣m=3，a3=S3﹣S2=18k=27，解得 ．
則當n≥2時， ，
又a1=3，∴n∈N* ， ．
則 為常數，故由等比數列的定義可知，數列{an}是等比數列．
（II）解：∵anbn=log3an+1 ， ∴ ．
則 ，
∴ ，
則 ，
即 （n∈N*）
【解析】（I）利用遞推關系與等比數列的定義即可證明．（II）利用“錯位相減法”、等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】關于本題考查的等比關系的確定和數列的前n項和，需要了解等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能得出正確答案．