Question

如圖，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，點E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB＝a.

（Ⅰ）求截面EAC的面積；

（Ⅱ）求異面直線A₁B₁與AC之間的距離；

（Ⅲ）求三棱錐B₁－EAC的體積.

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）如圖1，連結DB交AC于O，連結EO. ∵底面ABCD是正方形， ∴DO⊥AC  又∵ED⊥底面AC，  ∴EO⊥AC ∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角， ∴∠EOD＝45° DO＝a，AC＝a，EO＝a·sec45°＝a， 故S△EAC=EO·AC＝a2． （Ⅱ）由題設ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC． 又A1A⊥A1B1，  ∴A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線. ∵D1B∥面EAC，且面D1BD與面EAC交線為EO， ∴D1B∥EO， 又O是DB的中點 ∴E是D1D的中點，D1B＝2EO＝2a. ∴D1D＝a 異面直線A1B1與AC間的距離為a. （Ⅲ）解法一：如圖2，連結D1B1． ∵D1D＝DB＝a，  ∴BDD1B1是正方形. 連結B1D交D1B于P，交EO于Q. ∵B1D⊥D1B，EO∥D1B， ∴B1D⊥EO． 又AC⊥EO，AC⊥ED． ∴AC⊥面BDD1B1， ∴B1D⊥AC，∴B1D⊥面EAC． ∴B1Q是三棱錐B1—EAC的高. 由DQ＝PQ，得B11＝B1D＝a ∴． 所以三棱錐B1—EAC的體積是a3. 解法二：連結B1O，則 ∵AO⊥面BDD1B1， ∴AO是三棱錐A—EOB1的高，AO＝a. 在正方形BDD1B1中，E、O分別是D1D、DB的中點，則 . ∴. 所以三棱錐B1—EAC的體積是a3．