Question

已知f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上偶函數，當x∈（0，+∞）時，f（x）是單調增函數，且f（1）=0，則f（x+1）＜0的解集為

（-2，-1）∪（-1，0）

．

Answer 1

分析：由已知，不等式f（x+1）＜0等價于f（|x+1|）＜f（1），再利用函數f（x）在（0，+∞）上的單調性，可去掉函數符號“f”，從而不等式可解．

解答：解：由于f（1）=0，所以不等式f（x+1）＜0可化為f（x+1）＜f（1），
又f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數，
所以f（x+1）＜f（1）?f（|x+1|）＜f（1），
而當x∈（0，+∞）時，f（x）是單調增函數，
所以0＜|x+1|＜1，解得-2＜x＜0，且x≠-1．
即f（x+1）＜0的解集為（-2，-1）∪（-1，0）．
故答案為：（-2，-1）∪（-1，0）．

點評：本題主要考查抽象函數的單調性、奇偶性，偶函數在關于原點對稱的區間上單調性相反，而奇函數在關于原點對稱的區間上單調性相同．