Question

在各項均為正數的等比數列{a_n}中，已知a₂=a₁+2，且2a₂，a₄，3a₃成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a_n，求數列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用2a₂，a₄，3a₃成等差數列，a₂=a₁+2，確定數列的公比，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）確定數列{a_nb_n}的通項，利用錯位相減法，即可求數列{a_nb_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）因為2a₂，a₄，3a₃成等差數列，
所以2a₄=2a₂+3a₃，
因為{a_n}為等比數列，所以2a₁q³=2a₁q+3a₁q²．
因為a₁≠0，q≠0，所以2q²-3q-2=0，即（q-2）（2q+1）=0．
因為q＞0，所以q=2
因為a₂=a₁+2，所以2a₁=a₁+2，所以a₁=2，
所以a_n=2ⁿ；
（2）b_n=log₂a_n=n，∴a_nb_n=n•2ⁿ
∴Sn=2+2•22+…+n•2n
∴2Sn=22+2•23+…+n•2n+1
兩式相減可得-Sn=2+22+…+2n-n•2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列的通項與求和，考查錯位相減法，屬于中檔題．