Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知

cosA-2cosC

a2+c2-b2

=

1

ab

-

1

2bc

（Ⅰ）求

sinC

sinA

的值；
（Ⅱ）若cosB=

1

4

，b=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA與cosC，代入已知等式中化簡，整理后得到c=2a，利用正弦定理即可求出所求式子的值；
（Ⅱ）利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosB及b的值代入，再將c=2a代入得到求出a的值，進而求出c的值，再由cosB的值利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積S．

解答：解：（Ⅰ）∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

，cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴

cosA-2cosC

a2+c2-b2

=

b2+c2-a2 2bc - a2+b2-c2 ab

a2+c2-b2

=

1

ab

-

1

2bc

，
變形得：a（b²+c²-a²）-2c（a²+b²-c²）=（2c-a）（a²+c²-b²），即2ac²=4a²c，
∴c=2a，
利用正弦定理得：sinC=2sinA，即

sinC

sinA

=2；
（Ⅱ）∵cosB=

1

4

，b=2，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB及c=2a得：4=a²+4a²-4a²×

1

4

，即a²=1，
∴a=1，c=2，
又sinB=

1-cos2B

=

15

4

，
則△ABC的面積S=

1

2

acsinB=

15

4

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．