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給定數列{xn}，x1=1，且xn+1=
3
xn+1
3
-xn
，則x1+x2+…x2011=（　　）
A、1
B、-1
C、2+
3
D、-2+
3
分析：先有已知求數列{xn}的通項公式，但發現并不好求，這時可考慮數列{xn}是否未循環數列，可逐一求出數列前幾項，找規律，發現數列{xn}為循環數列，周期為6，所以很容易求出x1+x2+…x2011的值．
解答：解：由x1=1，且xn+1=
3
xn+1
3
-xn
，可求x2=2+
3
，x3=-2-
3
，x4=-1，x5=
3
-2，x6=2-
3
，x7=1，
所以數列{xn}為循環數列，周期為6，且x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，所以x1+x2+…x2011=x1=1
故選A
點評：本題考查了循環數列中，前n項和的求法，做題時，要善于發現規律．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=f（x）滿足f（a-tanθ）=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均為常數）
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）利用函數y=f（x）構造一個數列{xn}，方法如下：
對于給定的定義域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…
在上述構造過程中，如果xi（i=1，2，3，…）在定義域中，構造數列的過程繼續下去；如果xi不在定義域中，則構造數列的過程停止．
①如果可以用上述方法構造出一個常數列{xn}，求a的取值范圍；
②如果取定義域中的任一值作為x1，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{xn}，求a實數的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•盧灣區一模）已知函數f（x）=
x+1-tt-x
（t為常數）．
（1）當t=1時，在圖中的直角坐標系內作出函數y=f（x）的大致圖象，并指出該函數所具備的基本性質中的兩個（只需寫兩個）．
（2）設an=f（n）（n∈N*），當t＞10，且t∉N*時，試判斷數列{an}的單調性并由此寫出該數列中最大項和最小項（可用[t]來表示不超過t的最大整數）．
（3）利用函數y=f（x）構造一個數列{xn}，方法如下：對于給定的定義域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N*），…在上述構造過程中，若xi（i∈N*）在定義域中，則構造數列的過程繼續下去；若xi不在定義域中，則構造數列的過程停止．若可用上述方法構造出一個常數列{xn}，求t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•盧灣區一模）已知函數f（x）=
x+1-tt-x
（t為常數）．
（1）當t=1時，在圖中的直角坐標系內作出函數y=f（x）的大致圖象，并指出該函數所具備的基本性質中的兩個（只需寫兩個）．
（2）設an=f（n）（n∈N*），當t＞10，且t∉N*時，試判斷數列{an}的單調性并由此寫出該數列中最大項和最小項（可用[t]來表示不超過t的最大整數）．
（3）利用函數y=f（x）構造一個數列{xn}，方法如下：對于給定的定義域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N*），…在上述構造過程中，若xi（i∈N*）在定義域中，則構造數列的過程繼續下去；若xi不在定義域中，則構造數列的過程停止．若取定義域中的任一值作為x1，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{xn}，求實數t的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a＞2，給定數列{xn}，其中x 1=a，xn+1=
x
2
n
2(xn-1)
(n∈N*)求證：
（1）xn＞2，且xn+1＜xn（n∈N*）；
（2）如果2＜a≤3，那么xn≤2+
1
2n-1
(n∈N*)．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設a＞2，給定數列{xn}，其中x 1=a，xn+1=
x2n
2(xn-1)
(n∈N*)求證：
（1）xn＞2，且xn+1＜xn（n∈N*）；
（2）如果2＜a≤3，那么xn≤2+
1
2n-1
(n∈N*)．

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