Question

某單位有員工1000名，平均每人每年創造利潤10萬元．為了增加企業競爭力，決定優化產業結構，調整出x (x∈)名員工從事第三產業，調整后他們平均每人每年創造利潤為萬元(a＞0)，剩下的員工平均每人每年創造的利潤可以提高0.2x%．

（1）若要保證剩余員工創造的年總利潤不低于原來1000名員工創造的年總利潤，則最多調整出多少名員工從事第三產業？

（2）在（1）的條件下，若調整出的員工創造出的年總利潤始終不高于剩余員工創造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？

Answer 1

（1）500（2）(0，．

【解析】

試題分析：（1）原來1000名員工創造的年總利潤為10×1000，剩余員工創造的年總利潤為10(1000－x)(1＋0.2x %)，由題意得10(1000－x)(1＋0.2x %)≥10×1000，即－500x≤0，0＜x≤500．即最多調整500名員工從事第三產業．（2）由題意得不等式≤對0＜x≤500恒成立，所以ax≤＋1000＋x，即a≤＋＋1對0＜x≤500恒成立．因為＋≥＝4，當且僅當＝，即x＝500時等號成立，所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5．所以a的取值范圍為(0，．

試題解析：【解析】
（1）由題意，得10(1000－x)(1＋0.2x %)≥10×1000，即－500x≤0，

又x＞0，所以0＜x≤500．即最多調整500名員工從事第三產業． 5分

（2）從事第三產業的員工創造的年總利潤為萬元，

從事原來產業的員工的年總利潤為萬元，

則≤， 8分

所以ax－≤1000＋2x－x－，

所以ax≤＋1000＋x，即a≤＋＋1恒成立． 11分

因為＋≥＝4，當且僅當＝，

即x＝500時等號成立，所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5．

所以a的取值范圍為(0，． 14分

考點：不等式恒成立