Question

（1）是否存在實數m，使得2x+m＜0是x²-2x-3＞0的充分條件？
（2）函數f（x）=|2^x-1|-2m有兩個零點，則m應滿足的充要條件？

Answer 1

分析：（1）求出不等式對應的等價條件，利用充分條件的定義即可得到結論．（2）求出函數由兩個零點的等價條件即可求出函數的充要條件．

解答：解：（1）由2x+m＜0得x＜-

m

2

，
由x²-2x-3＞0得x＞3或x＜-1，
要使x＜-

m

2

是x＞3或x＜-1的充分條件，
則-

m

2

≤-1，即m≥2．
（2）由f（x）=|2^x-1|-2m=0得|2^x-1|=2m，
作出函數y=|2^x-1|的圖象如圖：，
由圖象可知要使|2^x-1|=2m有兩個根，
則滿足0＜2m＜1，
即0＜m＜

1

2

，
∴f（x）=|2^x-1|-2m有兩個零點的充要條件是0＜m＜

1

2

．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷和應用，利用不等式的解法以及函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．