Question

已知函數f（x）=x²-2x+5．
（1）是否存在實數m，使不等式m+f（x）＞0對于任意x∈R恒成立，并說明理由．
（2）若存在一個實數x₀，使不等式m-f（x₀）＞0成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）不等式m+f（x）＞0可化為m＞-f（x），求出右邊的最大值，即可求得m的范圍；
（2）m-f（x₀）＞0可化為m＞f（x₀），求出右邊的最小值，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（1）不等式m+f（x）＞0可化為m＞-f（x），即m＞-x²+2x-5=-（x-1）²-4．
要使m＞-（x-1）²-4對于任意x∈R恒成立，只需m＞-4即可．
故存在實數m，使不等式m+f（x）＞0對于任意x∈R恒成立，此時只需m＞-4．
（2）∵m-f（x₀）＞0，∴m＞f（x₀）．
∵f（x₀）=

x

2 0

-2x₀+5=（x₀-1）²+4≥4．
∴m＞4．

點評：本題考查恒成立問題，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．