Question

已知函數f（x）=

1 x -1，0＜x＜1 1- 1 x ，x＞1

．
（Ⅰ）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求

1

a

+

1

b

的值；
（Ⅱ）若存在實數a，b（1＜a＜b），使得x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍是[ma，mb]（m≠0），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當0＜a＜b，利用f（a）=f（b），直接求

1

a

+

1

b

的值；
（Ⅱ）通過1＜a＜b，使得x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍是[ma，mb]（m≠0），判斷函數的單調性，利用函數是值域，列出關系式，得到a，b是方程的兩個根，然后求實數m的取值范圍．

解答：解：（ I）由0＜a＜b且f（a）=f（b）可得0＜a＜1＜b；
則f(a)=

1

a

-1，f(b)=1-

1

b

∴

1

a

-1=1-

1

b

，即

1

a

+

1

b

=2…（5分）
（ II）∵1＜a＜b，ma＜mb，
∴m＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是增函數，…（6分）
∴

f(a)=ma f(b)=mb

，即

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

，∴

ma2-a+1=0 mb2-b+1=0

，
∴a，b是方程mx²-x+1=0的兩根，…（8分）
且關于x的方程mx²-x+1=0由兩個大于1的不等實數根，設兩個根為x₁，x₂，則
x1+x2=

1

m

，x1•x2=

1

m

，
∴

△＞0 (x1-1)+(x2-1)＞0 (x1-1)(x2-1)＞0

⇒

1-4m＞0 1 m -2＞0

，…（10分）
∴0＜m＜

1

4

…（12分）

點評：本題考查函數與方程的思想的應用，函數的值域以及函數的零點，考查分析問題解決問題的能力．