Question

設O為△ABC內部一點，

OC

=-

1

4

OA

-

1

2

OB

，則△ABC與△OBC的面積之比為

 

．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，計算△ABC與△OBC的面積表達式，找出△ABC與△OBC面積之間的關系式，即可求出結論．

解答：解：畫出圖形，如圖；
∵

OC

=-

1

4

OA

-

1

2

OB

，
∴取OA的中點D，連接BD，作OC的反向延長線OE，交BD于點E；
∴

OE

=

1

2

（

OD

+

OB

）=

1

2

（

1

2

OA

+

OB

）=

1

4

OA

+

1

2

OB

=-

OC

；
設∠BOE=α，∠DOE=β，
∴∠BOC=π-α，∠AOC=π-β；
∴S_△BOC=

1

2

|

OC

|•|

OB

|sin（π-α），
S_△BOE=

1

2

|

OE

|•|

OB

|sinα，
∴S_△BOC=S_△BOE；
∴S_△BOE=S_△DOE=

1

2

S_△BOD=

1

4

S_△AOB；
∴S_△BOC=

1

4

S_△AOB；
又S_△AOC=

1

2

|

OA

|•|

OC

|sin（π-β），
S_△DOE=

1

2

|

OD

|•|

OE

|sinβ，
∴S_△AOC=2S_△DOE=

1

2

S_△AOB；
∴S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=S_△AOB+

1

4

S_△AOB+

1

2

S_△AOB=

7

4

S_△AOB；
∴

S△ABC

S△BOC

=

7 4 S△AOB

1 4 S△AOB

=7．
故答案為：7．

點評：本題考查了平面向量的線性運算以及向量在幾何中的應用等問題，是易錯題．